Résumé : La première partie est consacrée à des équations quasilinéaires dégénérées, posées dans $\R^N\times (0,T),$ du type de l'équation du mouvement par courbure moyenne des graphes. Nous utilisons l'approche par lignes de niveau pour interpréter l'évolution au cours du temps des solutions non bornées comme un mouvement d'hypersurfaces dans $\R^{N+1}.$ Nous obtenons une condition d'unicité liée au non-épaississement du front associ\'e par cette approche g\'eom\'etrique et des bornes $L^\infty$ locales qui entrainent l'existence de solutions de viscosité discontinues. Une application spectaculaire est l'existence et l'unicité d'une solution de viscosité continue pour toute donnée initiale convexe.
En travaillant directement sur les équations, nous montrons des résultats d'existence et d'unicité en dimension 1. En imposant des restrictions de type polynomial sur la croissance de la donnée initiale dans $\R^N,$ nous prouvons qu'une grande classe d'équations est bien posée dans l'ensemble des fonctions à même croissance.
La seconde partie concerne les équations de Hamilton-Jacobi paraboliques. En premier lieu, pour des équations posées dans tout l'espace, nous établissons des bornes inférieures de gradient pour les solutions que nous exploitons dans le cadre de l'approche par lignes de niveau. Ces bornes empêchent l'épaississement du front mais nous montrons par des contre-exemples qu'elles n'impliquent pas de propriétés de régularité plus fines espérées même pour des solutions semiconcaves.
En second lieu, nous considérons ces équations posées dans un ouvert borné régulier avec une condition de Neumann au bord. En utilisant le problème de contrôle avec réflexion au bord associé, nous prouvons que le résultat d'unicité discontinu pour l'équation posée dans $\R^N$ ne s'applique pas.